二乗の和

にじようのわ

次のような公式がある。
ここでΣはkに1からnまでの数値を入れ合計したものである。
(1)Σ1=n
(2)Σk=n*(n+1)/2
(3)Σk^2=n*(n+1)*(2n+1)/6
(4)Σk^3=n^2*(n+1)^2/4
ここでは(3)を証明してみる。
(1)と(2)は既知とする。
唐突であるが、S=Σ((k+1)^3-k^3)を考える。ここがミソである。
ここでkに1からnまで代入し足してみる。
(2^3-1^3)+(3^3-2^3)+(4^3-3^3)+~+((n+1)^3-n^3)
各項の左と右が打ち消され、残るのが
S=-1^3+(n+1)^3=n^3+3*n^2+3*n (a)
となる。一方、
(k+1)^3-k^3=k^3+3*k^2+3*k+1-k^3=3*k^2+3*k+1
であるから
S=Σ((k+1)3-k3)=Σ(3*k^2+3*k+1)=3*Σk^2+3*Σk+Σ1 (b)
(a)と(b)から
n^3+3*n^2+3*n=3*Σk^2+3*Σk+Σ1
3*Σk^2=n^3+3*n^2+3*n-(3*Σk+Σ1)
(1)と(2)を使って
3*Σk^2=n^3+3*n^2+3*n-(3*n*(n+1)/2+n)=n*(n+1)*(2n+1)/2
ゆえに
Σk^2=n*(n+1)*(2n+1)/6

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2007-10-28 00:07:27 | 数学